Raymond Ros

Master 2 Recherche Informatique, Université Paris-Sud XI,

Février 2005

Mots-clés : Physique, Physique statistique, modèle, Systèmes multi-agents, Systèmes adaptatifs complexes

 

Les liens entre la physique et les systèmes multi-agents sont étroitement intriqués de par le fait que certains domaines de la physique étudient les interactions entre des collections d’atomes, de spins… qui peuvent tous être considérés en tant qu’agents. Ainsi beaucoup de théories et modèles élaborés par des physiciens ont été associés à la technique computationnelle des systèmes multi-agents. Bien que seront mentionnées certaines de applications utilisant la physique dans la modélisation d’autres domaines, nous tâcherons de décrire le problème inverse : nous nous intéresserons à des problèmes de la physique où les modèles à base d’agents ont apporté des réponses.

•         Modèles de la physique

La modélisation de phénomènes physiques a ceci d’intéressant que les modèles peuvent être réutilisés pour l’étude d’autres phénomènes. De plus le fait que l’on dispose aujourd’hui de techniques computationnelles hautes-performances entraîne que l’on puisse passer à l’échelle dans les systèmes considérés.

Si l’on commence par considérer les modèles à base d’équations différentielles, leur intérêt est grand dans l’étude de phénomènes macroscopiques mais ne peut convenir pour l’étude de systèmes discontinus ou hétérogènes dans leurs constituants.

Un domaine de la physique s’est intéressé à l’étude de la dynamique de systèmes qui ne vérifierait plus cette hypothèse de continuité, ce qui arrive vite lorsqu’on considère des systèmes aux éléments microscopiques : la physique statistique. Les premiers modèles de la physique statistique permettent de s’intéresser à des comportements microscopiques simples[7].

Par exemple le modèle d’Ising permet d’interpréter la transition de phase magnétique de la matière en considérant les spins des atomes. En outre, ce modèle prend compte de l’interaction des spins binaires entre eux en ne considérant que les plus proches voisins. La simplicité de ce modèle fait que l’on peut considérer un très grand nombre d’entités microscopiques.

Ces modèles de physique statistique peuvent être utilisés pour l’étude de phénomènes sociologiques, et économiques[1], [8], [10], [11].

•         Systèmes adaptatifs complexes et modèles à base d’agents

Cependant, ces modèles statistiques trouvent leur limitation quand il s’agit d’étudier des systèmes adaptatifs complexes. Ce terme regroupe les idées et techniques qui relèvent de la théorie du chaos, de la vie artificielle et de la programmation évolutionnaire, domaines qui ont percé avec les progrès des techniques computationnelles. Ces systèmes dits complexes peuvent en général se décomposer en de multiples éléments interagissant entre eux et voient en leur sein apparaître des phénomènes émergents. Le fait que l’hypothèse de continuité devient caduque et que l’on puisse n’avoir qu’un petit nombre d’éléments en interaction rendent les modèles vus plus-haut inutilisables. La modélisation à base de systèmes multi-agents est alors une solution évidente pour mettre le doigt sur les propriétés de ces systèmes complexes.

•         Quelques utilisations des modèles à base d’agents en physique

A partir de là, les applications de ces modèles peuvent toucher des domaines sur un éventail très large. On peut ainsi utiliser les systèmes multi-agents afin de traiter de l’auto-organisation des structures moléculaires[2] ou bien se représenter des particules ayant un mouvement Brownien actif, c’est à dire non plus de marche aléatoire mais ayant un état interne et pouvant ainsi avoir une représentation leur environnement[9]. Au lieu de considérer des agents atomes, on peut aussi considérer des agents-bulles ce qui est fait dans [6].

L’étude de mouvements chaotiques dus à des impacts peut être réalisée à l’aide d’un système multi-agents avec des boules de Newton[5], l’émergence de tels comportements peut se retrouver pour les agents que nous allons traiter plus en détail ci-dessous.

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Etude réalisée à partir de : Complexity Classes in Three-dimensional Gravitational Agents. Jean-Claude Heudin[3]

L’idée des agents gravitationnels consiste à considérer une interaction gravitationnelle entre eux. Le système de particules considéré dans un environnement à trois dimensions infini aura alors très probablement un comportement totalement chaotique. Heudin cherche à savoir quelles sont les classes de complexité des comportements observés ainsi que les conditions d’émergence de comportements chaotiques.

Les particules considérées sont définies par un état S_i pour une particule i qui est spécifié par :

m_i sa masse, x_i sa position dans l’espace et vx_i sa vitesse.

A un instant t donné, l’état S_i est donné par l’itération de F sur l’ensemble des états des autres particules, fonction précisant la règle de transition. F fait intervenir l’interaction gravitationnelle et est décrite par l’équation :

,

où G est la constante gravitationnelle et r_ij la distance entre les particules i et j.

Ainsi :

Ceci étant défini, au moment de l’implémentation d’un tel problème il y a deux jeux de paramètres qui contrôleront le comportement du système : le premier est lié à la règle de transition F, le second aux conditions initiales.

Dans la règle de transition, il est possible d’intervenir sur deux paramètres précis : la constante gravitationnelle G, et le pas de temps dt considéré. Par rapport aux conditions initiales, il faut définir une densité initiale liée au nombre d’agents et au volume du cube les contenant à l’instant t=0. De même il faut définir une distribution des vitesses des particules ainsi que de leur masse. L’espace d’étude des agents gravitationnels est, grâce à ceci, paramétré de façon arbitraire. Cette étude s’intéresse à faire varier la valeur de G.

L’étude commence d’abord avec un petit nombre d’agents et confirme les comportements qui pourraient être attendus. Il est ainsi possible de voir que les particules s’écartent si G est négatif, qu’elles suivent leur direction initiale sans accélérer si G est nul.

 

L’étude se consacre ensuite au problème principal : des systèmes de taille plus conséquente, N=10², 10³, 10⁴, 10⁵. Le même genre de comportement se retrouve alors.

Il est ainsi obtenu pour une valeur de G négative, une expansion des agents dont la vitesse globale qui semble être proportionnelle à G.

 

Pour une valeur positive petite de G, on peut observer après une phase de transition de quelques centaines de pas temporels deux patterns. Le premier est un noyau condensé d’agents dont le centre de gravité ne bougera ensuite que peu et où l’on peut observer des comportements chaotiques locaux. Le second pattern plus éphémère concerne certains agents éloignés qui gravitent autour du noyau et dont l’orbite se défait lorsque les fluctuations du noyau sont suffisantes.

 

Si l’on considère un plus grand nombre de particules encore, ces comportements sont retrouvés. Des regroupements de particules sont observés autour du noyau (on distingue 4 clusters autour du noyau central sur la seconde figure à droite).

Heudin distingue alors 3 classes de complexité :

-         G<0 : expansion du nuage des particules qui va exploser,

-         G=0 : l’état des particules ne changent que par leur position,

-         G>0 : on obtient un aggrégat chaotique d’agents.

Il apparaît alors que la transition de phase du système des agents gravitationnels se fait autour de la valeur G=0. Au-delà des observations déjà mentionnées, cela s’appuie sur le fait que plus G est petit plus la période transitoire avant que les agents ne s’agrègent est longue.

L’étude de ce type de systèmes (agents/interactions) permet de mettre en lumière des phénomènes émergents chaotiques et bien que définit dans le cadre de la physique, ce résultat est intéressant en soi et pourrait être applicable à d’autres systèmes. Les limitations se trouvent de façon évidente dans l’implémentation pratique de simulation, les systèmes considérés ayant une taille N~10³ particules une seule itération fait appel 10⁶ fois la procédure. Ce papier met en œuvre une technique utilisant un système multi-agents pour modèle qui permet de retrouver des comportements que l’on s’attend à observer en astrophysique par exemple dans des observations cosmologiques (voir ci-dessous).

Cela doit-il mener à généraliser au domaine de l’évolution biologique : la vie a-t-elle une auto-organisation à l’instar de ces agents ? L’idée n’est pas nouvelle et mériterait d’être étudiée.

Pour aller plus loin à propos des agents gravitationnels, Ebeling et Schweitzer[4] propose d’étudier le comportement d’une nuée d’agents à l’aide d’interaction gravitationnelle combinée avec de la répulsion à courte portée modélisée par l’équation de Langevin.

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Pour conclure, nous avons pu voir que la modélisation agents et la physique sont très liées. Aujourd’hui les applications de ces systèmes agents en physique se rapporte très régulièrement aux domaines de l’économie et de la sociologie. Grâce aux progrès effectués dans l’étude des réseaux, aujourd’hui la physique statistique s’est orienté dans la modélisation des comportements de groupes et des marchés financiers.

Si la modélisation agents ne s’est pas imposée plus dans l’élaboration de théories physiques, c’est d’après Bankes[7] dû au fait que les comportements émergents des systèmes multi-agents ne sont pas complètement décrits et ne doivent pas l’être : la rigueur que l’on doit espérer de la part de ces modèles ne peut dépasser celle que l’on attend des sciences expérimentales.

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•         Articles :

        [1]            Durlauf, S. (1997) in The Economy as a Complex Evolving System II, eds. Arthur, W. B., Durlauf, S. & Lane, D. (Addison-Wesley, Redwood City, CA).

        [2]            Troisi, A., Wong, V. and Ratner, M. A. An agent-based approach for modeling molecular self-organization PNAS Jan. 11, 2005, 102-2, pp 255-260

        [3]            Heudin, J.C. Complexity Classes in Three-dimensional Gravitational Agents. In Proceedings of Artificial Life VIII, Standish, Abbass, Bedau (eds) (MIT Press) 2002. pp 9-14

        [4]            Ebeling, W. and Schweitzer, F.: Swarms of particle agents with harmonic interactions, Theory BioSci. 120, 1-18 (2001)

        [5]            Charalambides, M. and Jefferies, D. J. Simulation of spatio-temporal chaos in a Newton's Cradle, as a basis for development of an agent-based model for impacting mechanical systems. Complex Systems 2002 Conference, Tokyo, September 2002.

        [6]            Pace, A. D., Trilnik, F., Campo, M., and Clausse, A. Object-Oriented Simulation Of Fluids Using Software Agents. Proceedings FLUIDOS-2001 Buenos Aires. (2001)

        [7]            Bankes, S. C. Agent-based modeling: A revolution? Proc Natl Acad Sci 2002 May 14; 99(Suppl. 3) pp 7199–7200.

•         Livres :

        [8]            Morandi, G., Napoli, F., and Ercolesi, E. Statistical Mechanics, World Scientific 2001.

        [9]            Brock, W. & Durlauf, S. (1998) Econ. Theory, in press.

     [10]            Schweitzer, F. (2002). Brownian Agents and Active Particles. Springer Series in Synergetics, Berlin: Springer

•         Sites :

     [11]            Numéro special sur l’utilisation des agents en sociologie, économie : http://www.pnas.org/content/vol99/suppl_3/

     [12]            Forum de l’éconophysique : http://www.unifr.ch/econophysics/

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